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水利水电课程指导之建筑制图基础_第三章

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本章导学

本章内容主要按照几何体系——点、线、面,由浅入深,由简入繁进行介绍,系统性较强,重点是弄清各元素之间的空间联系和关系,然后运用投影规律,解决其本身及相互间的定位和度量关系。

学习本章时,你需要注意总结和归纳各种位置的点、直线、平面的投影特性, 并要熟练掌握其作图方法;课前预习并做好集中辅导和自学学习笔记。包括空间分析、解题步骤,在理解的基础上认真完成作业。

建议学时:12小时。

学习目标

学习完本章之后你能够:

1阐述点的三面投影的投影规律,并能够利用其规律进行作图;

2利用各种位置直线的投影特性进行作图;

3利用平面图形表示出各种位置平面的投影特性。

3.1 点的投影

在投影理论中,对于物体只研究其形状、大小、位置,而它的物理性质、化学性质都不涉及,这种物体称为形体。任何形体都是由点、线、面基本元素构成的,点是构成形体的最基本的几何元素,点的投影是研究直线、平面、形体的基础。

1.点的单面投影

在第2章说过,点在某一投影面上的投影,实质上是过该点向投影面所作垂线的垂足。因此,点的投影仍然是点。 如图3-1所示,过空间点A向投影面H作投影线,该投影线与投影面的交点a,即为点A在投影面H上的投影。这个投影是唯一确定的。但是,仅凭a不能确定点A的空间位置,因为位于投射线上的任何一点(如A1点),其投影都在a处。这就是说,仅根据点的一个投影还不足以确定点在空间的位置。

图3-1 点的单面投影

2.点的三面投影

视频讲解主讲人:解咏平 教授03′12″

前章说过,为了表达形体的形状,通常要画出三面投影图。点,作为形体的几何元素,通常也要画出三面投影。

(a) 直观图

(b)投影图

如图3-2所示,做出点 A在三面投影体系中的投影。过点 A分别向HVW面作投影线,投影线与投影面的交点 a、 a、 a,就是点A的三面投影图。点 AH面的投影 a,称为点A的水平投影;点AV面的投影 a,称为点A的正面投影;点AW面的投影 a,称为点A的侧面投影。

在投影法中规定:空间点用大写字母表示,而在其H面的投影用相应的小写字母表示,在V面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示,在W面的投影用相应的小写字母右上角加两撇表示。如点的三面投影,分别用 a、 a、 a表示。

3.点的投影规律

视频讲解主讲人:解咏平 教授10′03″

在图3-2(a)中,过空间点A的两面投影线 Aa和 Aa决定的平面,与V面和H面同时垂直相交,交线分别是 aax和 aax,因此,OX轴必然垂直于平面 Aaaxa,也就是垂直于 axx和 aax。又 aax和 aax是相互垂直的两条直线,即 aax⊥ aaxaaxOX、 aaxOX。当H面绕OX轴旋转至与V面成为一平面时,点A的水平投影a与正面投影a 的连线就成为一条垂直于OX轴的直线,即aaOX,见图3-2(b)。同理可分析出,aaOZzY在投影面展平之后,被分为aYHaYW两个点,所以aaYHOYHaaYWOYW,即aaz=aaZ 。

从上面的分析可以得出点在三面投影体系中的投影规律:

(1)点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴,即aaOX

(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴,即aaOZ

(3)点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ的距离,即aax=aaZ 。

图3-3 位于投影面上的点及其三面投影

(a) 直观图

(b)投影图

在图3-3(a)中,给出了空间点BCD在三面投影体系中的立体图,这三个点分别位于HVW三个投影面上。从图中可看出,三个点中每一个点都有一个相应的投影与其本身重合,另外两个投影在相应的投影轴上。图3-3(b)为这三个点的三面投影图(注意,点B的侧面投影b应位于W面的OYW上,点D的水平投影d应位于H面的OYH上),它们也都符合上述三条投影规律。

上述三条投影规律说明了在点的三面投影图中每两个投影都有一定的联系,只要给出点的任意两个投影就可以补出第三个投影(即“二补三”作图)。

例题

已知A点的水平投影a和正面投影a,求侧面投影a,如图(a)所示。

分析

已知A点的两个投影,根据投影规律求出a……

视频讲解

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点的三面投影及投影规律

4.点的投影与坐标

视频讲解主讲人:解咏平 教授03′32″

在图3-4(a)中,四边形Aaaxa是矩形,Aa等于aax,即aax反映点AH面的距离;Aa等于aax,即aax反映点AV面的距离。由此可知:点到某一投影面的距离,等于该点在另一投影面上的投影到相应投影轴的距离。

在三面投影体系中,若把HVW投影面看成坐标面,三条投影轴相当于三条坐标轴OXOYOZ,三轴的交点为坐标原点。空间点到三个投影面的距离就等于它的坐标,也就是说点AW面的距离Aa 即为该点的X坐标,点AV面的距离Aa 即为该点的Y坐标,点AH面的距离Aa即为Z坐标。

如果空间点的位置用Axyz)形式表示,那么它的三个投影的坐标应为axy,0),ax,0,z),z(0,yz)。

显然,空间点的位置不仅可以用其投影确定,也可以由它的坐标确定。若已知点的三面投影,就可以量出该点的三个坐标;或已知点的坐标,就可以作出该点的三面投影。

例题

1.已知点A的坐标为(20,10,15),求点A的三面投影aaa

2.在立体图中画出点 A(20,10,15)投影及其空间位置。

视频讲解

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点的投影与坐标

5.两点的相对位置和重影点

(1)两点的相对位置

视频讲解主讲人:解咏平 教授03′03″

两点的相对位置是指两点间左右、前后、上下的位置关系。在投影图上判别两点的相对位置是读图的重要问题。

从点的投影与直角坐标的关系可知,点的三个坐标xyz分别表示空间点AWVH三个投影面的距离。因此,可通过比较两点在投影图中同名投影坐标值的大小来判断两点的相对位置。

比较x坐标的大小,可以判断两点左右的位置关系,x大的点在左,x小的点在右;

比较y坐标的大小,可以判断两点前后的位置关系,y大的点在前,y小的点在后;

比较z坐标的大小,可以判断两点上下的位置关系,z大的点在上,z小的点在下。

图3-5分别给出了AB两点的三个投影。从图中可见,A点的x坐标小于B点的x坐标,所以A点距W面较近,A点在B点的右方;A点的y坐标大于B点的y坐标,所以A点距V 面较远,A点在B点的前方;A点的z坐标大于B点的z坐标,所以A点距H面较远,A点在B点的上方,综合AB两点三个坐标大小的比较,可以判定A点在B点的右前上方。

例题

已知A点在点B之前5毫米,之上9毫米,之右8毫米,求点A的投影。

(2)重影点及其投影的可见性

视频讲解主讲人:解咏平 教授02′40″

若空间两点位于某一投影面的同一条投影线上,则它们在该投影面上的投影必然重合,这两点投影称为该投影的重影点。

由于某投影面的重影点位于该投影面的同一条投影线上,观者沿此投射线方向去观察两点时,则必会有一点看得见,另一点看不见,这就是重影点的可见性问题。在投影图上判别重影点的可见性,也是读图中的重要问题。

表3-1 重影点

概念 直观图 投影图 投影特性 可见性的判别方法
水平重影点 水平投影重合的两个点,叫水平重影点 1.正面投影和侧面投影反映两点的上下位置
2.水平投影重合为一点,上面一点可见,下面一点不可见
观者从上向下看,上面一点看得见,下面一点看不见(上下位置可从正面投影或侧面投影中看出)
正面重影点 正面投影重合的两个点,叫正面重影点 1.水平投影和侧面投影反映两点的前后位置
2.正面投影重合为一点,前面一点可见,后面一点不可见
观者从前向后看,前面一点看得见,后面一点看不见(前后位置可从水平投影或侧面投影中看出)
侧面重影点 侧面投影重合的两个点,叫侧面重影点 1.水平投影和正面投影反映两点的左右位置 2.侧面投影重合为一点,左面一点可见,右面一点不可见 观者从左向右看,左面一点看得见,右面一点看不见(左右位置可从正面投影或水平投影中看出)

注:在投影图上判别重影点的可见性时,要求把看不见的点的投影符号用括号括起来。

3.2 直线的投影

1. 直线投影图的作法

视频讲解主讲人:解咏平 教授02′50″
由初等几何可知,两点可以确定一条直线,直线的投影可以由直线上任意两点的投影决定。若已知直线上的点Aa′,aa″)和点Bb′,bb″),那么就可以画出直线AB的投影图,如图3-6所示。由此可知,求作直线的投影,只要做出直线上两点投影,同面投影连线即可。

图3-6 直线投影图作法

2. 各种位置直线的投影特性

视频讲解主讲人:解咏平 教授04′14″

直线在三面投影体系中,按其对投影面的相对位置可分为三种情况:投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。

(1)投影面平行线

视频讲解主讲人:解咏平 教授09′00″

平行于一个投影面倾斜于另两个投影面的直线,称为投影面平行线。与H面平行的直线称为水平线;与V 面平行的直线称为正平线;与W面平行的直线称为侧平线。这三种平行线的直观图、投影图和投影特性见表3-2。

表3-2 投影面平行线

名称 立体图 投影图 投影特性
水平线(∥H (1) abOXabOYW
(2)ab = AB
(3)反映倾角β 、γ大小
正平线(∥V (1) abOXab″∥OZ
(2)ab′ = AB
(3)反映倾角α 、γ大小
侧平线(∥W (1)abOYHabOZ
(2)ab″ = AB
(3)反映倾角α 、β大小

注:直线与投影面的夹角,称为直线对投影面的倾角。直线对H面、V面和W面的倾角分别用αβγ表示。

下面以表3-2中水平线为例,进一步说明其投影特性。

由于水平线平行于H面,所以水平线上的所有点均与H面距离相等(即坐标相等)。因此,它的VW两面投影分别平行于相应的投影轴,即ab′∥OXab″∥OYW。水平线的H投影反映线段的实长,即ab=AB,且abOX轴的夹角反映该直线对V面的倾角β,与OYW轴的夹角反映该直线对W面的倾角γ

正平线和侧平线有类似的投影特性。

由表3-2可见,投影面平行线的投影特性为:

①直线在所平行的投影面上的投影反映实长,此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形;

②直线在另两个投影面上的投影,平行于相应的投影轴,但不反映实长。

(2)投影面垂直线

视频讲解主讲人:解咏平 教授07′54″

垂直于某一投影面的直线,称为投影面垂直线。与H面垂直的直线称为铅垂线;与V 面垂直的直线称为正垂线;与W面垂直的直线称为侧垂线。这三种垂直线的直观图、投影图和投影特性见表3-3。

表3-3 投影面垂直线

名称 立体图 投影图 投影特性
铅垂线(⊥H (1)H投影积聚为一点
(2)ab′⊥OXab″⊥OYW
(3)ab′ = ab″= AB
正垂线(⊥V (1)V投影积聚为一点
(2)abOXab″⊥OZ
(3)ab = ab″= AB
侧垂线(⊥W (1)W投影积聚为一点
(2)ab′⊥OZabOYH
(3)ab′ = ab = AB

下面以表3-3中铅垂线为例,进一步说明其投影特性。

铅垂线垂直于H面,所以铅垂线ABH面上的投影为一点ab),有积聚性,这是识别铅垂线的投影特征。铅垂线平行于OZ轴,因此它的VW两面投影均平行于OZ轴,而它的V投影垂直于OX轴,W投影垂直于OYW轴,即ab′⊥OXab″⊥OYW;铅垂线平行于VW两投影面,所以它的VW两投影均反映线段的实长。

正垂线和侧垂线有类似的投影特性。

由表3-3可见,投影面垂直线的投影特性为:

①直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点;

②直线在另两个投影面上的投影,垂直于相应的投影轴,且反映线段的实长。

(3)一般位置直线

视频讲解主讲人:解咏平 教授02′56″

与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图3-7所示,一般位置直线AB与三个投影面HVW都倾斜,倾斜角度分别为αβγ

一般位置直线的投影特性为:

①直线的三个投影均倾斜于投影轴;

②直线的三个投影与投影轴的夹角,均不反映直线与任何投影面的倾角,αβγ均为锐角;

③各投影的长度小于直线的实长。

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各种位置直线的投影特性

3. 一般位置直线的实长和倾角

视频讲解主讲人:解咏平 教授07′23″

如上所述,投影面平行线、投影面垂直线在某一投影面上的投影总能反映空间直线段的实长及其与投影面的真实倾角,但一般位置直线在各投影面上的投影既不能反映线段的实长,也不能反映直线与投影面的倾角。在实际应用中,经常需要按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的实长。通常将这种方法称为直角三角形法。

(1)求直线段对H面的倾角α及实长

视频讲解主讲人:解咏平 教授03′56″

分析图3-8(a)可知,直线AB与其水平投影ab决定的平面ABbaH面,在该平面内过B点作ab的平行线交AaAo,则构成一直角ΔAA0B。在直角ΔAA0B中,直角边A0B为水平投影ab之长,另一直角边AA0则为AB两点到H面的距离差(z坐标差);斜边AB与直角边BA0夹角即为直线ABH面的倾角α;斜边AB即为其实长。因此,只要求出直角ΔAA0B的实形,即可求得ABH面的倾角α及其实长。

在投影图中,AB的水平投影ab已知,AB两点到H面的距离之差,可由其正面投影求得,由此即可作出直角ΔAA0B的实形。

作图方法一

(见图3-8(b))

(1)求AB两点到H面的距离之差:过b′作OX轴的平行线与aa′交于a1,则aa1等于AB两点到H面的距离之差;

(2)以ab为直角边,aa1为另一直角边,作直角三角形:过aab的垂线,在该垂线上截取aA0 = aa1,连接bA0,则∠A0ba即为ABH面的倾角αA0b=AB(TL)。

显然,图3-8(b)中的直角ΔA0ba和图3-8(c)中的直角ΔB0a1a′及图3-8(a)所示的直角ΔAA0B是全等直角三角形。

(2)求直线段对V面的倾角β及实长

视频讲解主讲人:解咏平 教授02′33″

分析图3-9(a)可知,直线AB与其正面投影ab′ 决定的平面ABba′ 垂直于V面,在该平面内过A点作ab′ 的平行线交Bb′于B0,则构成一直角ΔAB0B。在直角ΔAB0B中,直角边AB0为正面投影ab′ 之长,另一直角边BB0则为BA两点到V面的距离差(y坐标差);斜边BA与直角边AB0夹角即为直线ABV面的倾角β;斜边AB即为其实长。因此,只要求出直角ΔAB0B的实形,即可求得ABV面的倾角β及其实长。

在投影图中,AB的正面投影ab′ 已知,BA两点到V面的距离之差,可由其水平投影求得,由此即可作出直角ΔAB0B的实形。

作图方法一

(见图3-9(b))

(1)求BA两点到V面的距离之差:过aOX轴的平行线与bb交于b1,则bb1等于BA两点到V面的距离之差;

(2)以ab′ 为直角边,bb1为另一直角边,作直角三角形:过b′作ab′ 的垂线,在该垂线上截取bB0 = bb1,连接aB0,则∠B0 ab′ 即为ABV面的倾角βaB0 =AB(TL)。

显然,图3-9(b)中的直角ΔB0 ab′ 和图3-9(c)中的直角ΔbA0 b1及图3-9(a)所示的直角ΔABB0是全等直角三角形。

直线对W面的倾角γ的求法,可根据求αβ的原理进行。所不同的是,求γ角是线段的侧面投影和两端点到W面的距离差(x坐标差),作为直角三角形的两个直角边。

通过上述分析可知,在求一般线段的实长和倾角的直角三角形中,只要知道直角三角形四个要素(两条直角边、斜边、一锐角)中的任意两个,便可作出该直角三角形,这就是用直角三角形法解题的依据。

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一般位置直线的实长和倾角

4. 直线上的点

视频讲解主讲人:解咏平 教授01′51″

点在直线上,即点属于直线。属于直线上的点的投影具有如下特性:

(1)点在直线上,其各面投影必在直线的同名投影上,且符合点的投影规律。如图3-10所示,直线AB上的点C,其投影c′、cc″,分别位于ab′、abab″上,且cccc″ 分别垂直于相应的投影轴。

(2)直线上的点分直线段所成的比例等于点的投影分直线段同名投影所成的比例。如图3-10(a)所示,直线上的点C把直线段分为两段ACCB,点C的投影c′ 将ab′ 分为ac′ 和cb′,由于Aa′∥Cc′∥Bb′,线段ABab′ 被Aa′、Cc′、Bb′一组平行投影线所截割,所以ACCB = ac′∶cb′ ,同理可得:ACCB = accb = ac″∶cb″。

例题

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直线上的点

5. 两直线的相对位置

两直线在空间的相对位置分为平行、相交、交叉和垂直(相交和交叉的特例)四种情况。下面分别讨论它们的投影特点。

(1)两直线平行

视频讲解主讲人:解咏平 教授09′04″

根据正投影的平行性可知:空间两直线相互平行,则它们的同名投影也相互平行,且同名投影的长度之比等于空间两线段的长度之比。如图3-11已知ABCD,则ab′∥cd′,abcd,且ABCD = ab′∶cd′ = abcd。如果补出侧面投影,也一定是ab″∥cd″,且ABCD = ab″∶cd″。

在投影图中,若判别两直线是否平行,一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行就可以了。但对于两直线均为某投影面平行线时,若无直线所平行的投影面上的投影,仅根据另两投影的平行是不能确定它们在空间是否平行的,应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行。

如图3-12(a)所示,ABCD为两条侧平线,看它们的正面投影ab′∥cd′ 和水平投影abcd,但不能判定ABCD是否平行,还需要补出它们的侧面投影来进行判定。从补出的侧面投影可以看出ab″ 与cd″ 不平行,这说明空间两直线AB和CD不平行。假若补出它们的侧面投影平行,则空间两直线一定平行。

同样,如图3-12(b)、(c)所示,判定两条水平线和两条正平线是否平行,都应分别从它们的水平投影和正面投影进行判定。

(2)两直线相交

视频讲解主讲人:解咏平 教授04′46″

两直线相交必有一个交点,交点是两直线的公共点。根据前章所述正投影的从属性和定比性,可以得到两直线相交的特点:空间两直线相交,则它们的同名投影必定相交,而且各同名投影的交点就是两直线空间交点的同名投影。

如图3-13所示,一般位置直线ABCD相交于点K,因为点K即属于AB,又属于CD,所以,k必属于abcd,即kabcd的交点。同理,k′是ab′ 和cd′ 的交点。

在投影图中,若判别两直线是否相交,对于两条一般位置直线来说,只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴,就可判定这两条直线在空间一定相交。但是当两条直线中有一条直线是投影面平行线时,应利用直线在所平行的投影面内投影来判断。图3-14(a)中,虽然abcd交于k, ab′ 和cd′ 交于k′,且kk′⊥OX,但因为CD为侧平线,观看侧面投影,ab″ 和cd″ 虽然相交,而该交点与k′的连线同OZ轴不垂直,所以该两直线不相交。若只根据VH两面投影来判定,如图3-14(b)所示,则需比较ckkd的线性比与ck′ 和kd′ 的线性比是否相等,如果相等则相交,不等则不相交。

(3)两直线交叉

视频讲解主讲人:解咏平 教授05′41″

两直线既不平行也不相交,称为两直线交叉。显然,两交叉直线的投影,既无两直线平行时的特性,也无两直线相交时的特性。它们的同面投影可表现为有一个或两个同面投影互相平行(如图3-12(a)),但不可能有三个同面投影互相平行。也可表现为有一个、两个甚至三个同面投影相交(如图3-14(a)),但三个同面投影的交点不符合一个点的三面投影规律。

图3-15 两直线交叉

如图3-15(a)所示,两交叉直线ABCD的水平投影的交点,是直线AB上的点Ⅰ和CD上的点Ⅱ的投影,因为Ⅰ、Ⅱ两点同位于一条铅垂线上,故水平投影重合于一点。两直线正面投影的交点,则是AB上的点Ⅲ和CD上的点Ⅳ的投影,因为Ⅲ、Ⅳ两点位于一条正垂线上,故其正面投影重合为一点。

因此,在投影图上,如果两直线有两同面投影相交,而交点的连线不垂直于相应的投影轴,则空间这两直线一定交叉。如图3-15(b)所示,abcd、 ab′ 与cd′ 都有交点,但这两点的连线与投影轴OX不垂直,由此可判定ABCD为两交叉直线。

既然两交叉直线同面投影的交点是两直线上两个点的投影重合在一起的,那么就须判定其可见性。如图3-15(b)所示,从正面投影可看出,点Ⅰ在点Ⅱ之上,故其水平投影1为可见,2为不可见,写成1(2)。从水平投影可看出,点Ⅲ在点Ⅳ之前,故其正面投影3′ 为可见,4′ 为不可见,写成3′(4′)。

(4)两直线垂直

视频讲解主讲人:解咏平 教授11′18″

两直线之间的夹角,可以为锐角、钝角、直角。一般情况下,投影不反映两直线夹角的真实大小,如果一个角不变形地反映在某一投影面上,那么这个角的两边平行于该投影面。但是对于直角,只要有一边平行于某一投影面,则该直角在该投影面上的投影仍然是直角。

图3-16 两直线相互垂直

如图3-16(a)所示,空间两直线ABAC相互垂直,其中直线AC平行于H面,则这两直线在H面上的投影abac互相垂直。证明如下:

因为ACH面,AaH面,所以AaAC。由于AC同时垂直ABAa,故AC必垂直ABAa所决定的平面ABba。又因为acAC,即ac也垂直于平面ABba,所以acab

反之,如果两直线的某一投影面互相垂直,而且其中有一条直线平行于该投影面,则这两直线在空间一定互相垂直。

例题
例题

3.3 平面的投影

1. 平面的表示方法

视频讲解主讲人:解咏平 教授02′47″

由平面几何可知,平面可由下列几何元素来确定:

(1)不在同一条直线上的三个点(图3-17(a));

(2)一直线和线外一点(图3-17(b));

(3)两平行直线(图3-17(c));

(4)两相交直线(图3-17(d));

(5)平面图形(即平面的有限部分,例如三角形等)(图3-17(e))。

图3-17 用几何元素表示平面

图3-17是这些几何要素的两面投影,即画法几何中表示平面的五种方法。这五种方法是可以互相转换的,例如连接图3-17(a)中的AB两点,即得图3-17(b);过图3-17(b)中的点C作一直线平行于AB,即得图3-17(c);……这样转换的结果,几何元素虽然在形式上有所变化,但依然表示着原来一组几何元素所确定的平面。本书多用平面形(如三角形、长方形、梯形等)来表示平面。

2. 各种位置平面的投影特性

视频讲解主讲人:解咏平 教授04′13″

根据平面与投影面的相对位置,平面可分为投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面三种情况。

(1)投影面平行面

视频讲解主讲人:解咏平 教授13′47″

与一个投影面平行的平面,称为投影面的平行面。平行于H面的平面,称为水平面;平行于V面的平面,称为正平面;平行于W面的平面,称为侧平面。这三种平行面的直观图、投影图和投影特性见表3-4。

表3-4 投影面平行面

名称 立体图 投影图 投影特性
水平面(∥H (1)H投影反映实形
(2)V 、W 投影均积聚为直线段,且分别平行于OXOYW
正平面(∥V (1)V 投影反映实形
(2)HW 投影均积聚为直线段,且分别平行于OXOZ
侧平面(∥W (1)W投影反映实形
(2)VH投影均积聚为直线段,且分别平行于OZOYH

下面以表3-4中水平面为例,进一步说明其投影特性。

由于水平面平行于H面,必然垂直于V面和W面,所以水平面的VW面投影积聚为一直线,且平行于相应的投影轴。这是识别水平面的投影特征。水平面的H面投影反映平面的实形。

正平面和侧平面有类似的投影特性。

由表3-4可见,投影面平行面的投影特性为:

①平面在它平行的投影面上的投影反映实形;

②平面的其他两个投影积聚成线段,并且平行于相应的投影轴。

(2)投影面垂直面

视频讲解主讲人:解咏平 教授15′37″

与一个投影面垂直的平面,称为投影面的垂直面。垂直于H面的平面,称为铅垂面;垂直于V面的平面,称为正垂面;垂直于W面的平面,称为侧垂面。这三种垂直面的直观图、投影图和投影特性见表3-5。

表3-5 投影面垂直面

名称 立体图 投影图 投影特性
铅垂面(⊥H (1)H投影积聚为一直线,且反映βγ的大小
(2)V、 W投影不反映实形,但有相仿性
正垂面(⊥V (1)V投影积聚为一直线,且反映αγ的大小
(2)H、 W投影不反映实形,但有相仿性
侧垂面(⊥W (1)W投影积聚为一直线,且反映αβ的大小
(2)VH投影不反映实形,但有相仿性

注:平面与投影面的夹角,称为平面对投影面的倾角。平面对H面、V面和W面的倾角分别用αβγ表示。

下面以表3-5中铅垂面为例,进一步说明其投影特性。

由于铅锤面垂直于H面,必然倾斜于V面和W面,所以铅锤面的H面投影积聚为一斜直线,该积聚斜线与OX轴的夹角,反映该平面对V面的倾角β;与OY轴的夹角,反映该平面对W面的倾角γ。这是识别铅垂面的投影特征。铅垂面的VW投影不反映原几何图形的实形,但是原几何图形的相仿形。

正垂面和侧垂面有类似的投影特性。

由表3-5可见,投影面垂直面的投影特性为:

①平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线,并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与相应投影面的倾角;

②平面的其他两个投影不是实形,但有相仿性。

(3)一般位置平面

视频讲解主讲人:解咏平 教授07′20″

与三个投影面都倾斜的平面,称为一般位置平面,如图3-18(a)所示。

因为一般位置平面与三个投影面都倾斜,所以平面图形的三个投影均不反映实形,也无积聚性,但具有原图形的相仿性。在图3-18(b)中,三面投影Δabc′、Δabc、Δabc″ 均比原几何图形ΔABC小。

3. 平面上的点和直线

(1)平面上的点

视频讲解主讲人:解咏平 教授17′34″

点在平面上的几何条件是:如果点在平面上的某一直线上,则此点必在该平面上。

如图3-19(a)所示,点E在两相交线ABBC决定的平面P内的直线AB上,所以点E在平面P上。图3-19(b)为其投影图。平面P的投影用两相交线ABBC表示,点E的投影在已知直线AB的同名投影上,即ee′ 分别在abab′ 上,且符合点的投影规律。

(2)平面上的直线

视频讲解主讲人:解咏平 教授13′11″

直线在平面上的几何条件是:如果直线经过平面上两个点,或经过平面上一点,且平行于平面上的一条直线,则此直线必定在该平面上。

图3-20(a)所示,在平面ΔABC决定的平面Q上,点M在直线AB上,点N在直线BC上,则直线MN在平面Q上。图3-21(a)为其投影图。平面Q的投影用ΔABC的投影表示,点MN的投影分别在直线ABBC的同名投影上,则直线MN在平面ΔABC上。

图3-20(b)所示,在两相交线ABAC决定的平面R上,点E在已知直线AC上,过点E作直线EF平行于AB,则EF在平面R上。图3-21(b)为其投影图,平面的投影用两相交线ABAC的投影表示,点E的投影在直线AC的同名投影上,即ee′ 分别在ac和a′c′上;过E作直线EF的投影平行AB的同面投影,即efabef′∥ab′,则直线EF在两相交线ABAC决定的平面上。

从点和直线在平面内的几何条件可以看出,欲在平面内取点,需先在平面内取线;欲在平面内取线,又需先在平面内取点。这种关系是互相制约的。

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平面上的点和直线

4. 平面内的特殊位置直线

平面内的直线,其位置各不相同。其中平行于投影面的直线,与投影面成倾角最大的直线——最大斜度线,统称为平面内投影面的特殊位置直线。

(1)平面内的正平线和水平线

视频讲解主讲人:解咏平 教授20′01″

①平面内的正平线

平面内平行于V的直线,称为平面内的正平线。如图3-22所示,AⅠ为平面ΔABC内的正平线。A、Ⅰ两点在平面内,且两点的连线具有正平线的投影特性,即a1∥OX轴,a′1′反映AⅠ的实长。

②平面内的水平线

平面内平行于H的直线,称为平面内的水平线。如图3-22所示,CⅡ为平面ΔABC内的水平线。它的性质与平面内正平线类似。c′2′∥OX轴,c2反映CⅡ的实长。

(2)平面内的最大斜度线

视频讲解主讲人:解咏平 教授20′36″

平面内对投影面的最大斜度线是指该平面内对该投影面倾角最大的某一条直线。平面内对投影面的最大斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行线。如图3-23所示,L是平面P内的水平线,AB属于平面PABLAB是平面P内对H面的最大斜度线。一般位置平面对投影面的倾角可用最大斜度线对投影面的倾角来定义。如图3-23所示,ABH面的倾角α就是平面PH面所成二面角的平面角,即平面PH面的倾角α

平面内对V投影面的最大斜度线,应垂直于该平面内的正平线。平面对V 面的倾角β等于平面内对V面的最大斜度线的β角。

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平面内的特殊位置直线

5. 直线与平面相交、平面与平面相交

直线与平面相交有一个交点,交点是公共点,它既在直线上又在平面上;平面与平面相交有一条交线,交线是两平面的公共线,即同时位于两个平面上,求交点、交线,利用共有性求解。

(1)特殊情况相交

特殊情况相交,是指参与相交的无论是直线还是平面,至少有一个元素对投影面处于特殊位置,它在该投影面上的投影有积聚性。在投影作图中,则利用积聚性可以直接确定交点或交线的一个投影,而后再利用线上定点或面上定点的方法求交点的第二个投影,利用面上定线的方法求出交线的第二投影。

①直线与平面相交

视频讲解主讲人:解咏平 教授12′15″

图3- 24所示为直线AB与铅垂面P相交。铅垂面的水平投影具有积聚性,积聚投影与直线的水平投影的交点即为交点的投影,而交点的另一投影必在该直线的另一投影上。

直线与平面相交后, 直线便从平面的一侧到了平面的另一侧(以交点为分界)。假定平面是不透明的,则沿投射方向观察直线时,位于平面两侧的直线,一侧直线看得见,另一侧直线则被平面遮挡而看不见,这就有判别可见性的问题。在作图时,要把看得见的直线画成粗实线,把看不见的直线画成虚线,交点是可见与不可见的分界点。

②平面与平面相交

视频讲解主讲人:解咏平 教授24′15″

图3-25所示为铅垂面ΔABC与一般位置平面ΔEFG相交。铅垂面ΔABC的水平投影具有积聚性,积聚投影与一般位置平面ΔEFG的水平投影重合部分,即为交线的投影,而交线的另一投影必在该平面的另一投影上。

两平面相交后,假定两平面都是不透明的,则它们必定互相遮挡,而且不管对哪个平面来说,都是以交线为分界,被遮挡的部分看不见,未被遮挡的部分看得见,交线是可见的。

(2)一般情况相交

一般情况相交,是指参与相交的无论是直线还是平面,在投影体系中均处于一般位置。在这种情况下,它们的投影无积聚性,直线与平面交点投影、平面与平面交线的投影不能利用积聚性求出。可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。

①直线与平面相交

视频讲解主讲人:解咏平 教授13′20″

图3-26所示为一般位置直线EF和一般位置平面ΔABC相交。为求EF和平面ΔABC交点的投影,可通过直线EF作辅助平面P,与平面ΔABC的交于直线MN,同在平面P上的两直线EFMNMN为ΔABC上的一条直线),必有一交点K,即为直线EF与平面ΔABC的交点。因为KEF上,又在MN上,所以必在EF和平面ΔABC,即KEF与平面ΔABC的公有点,亦即所求的交点。这种求交点的方法称为辅助平面法。

通过辅助平面法求交点,具体分为三个步骤:

步骤 详解
1 过已知直线作一辅助平面。为使作图简单,辅助平面应选择投影面的垂直面,如正垂面、铅垂面等。
2 求出辅助平面和已知平面的交线。
3 已知直线和上述交线的交点,即为直线与平面的交点。

图3-27所示为求直线EF和平面ΔABC的交点投影的作图方法。


(a)已知条件 (b)作图方法 (c)判断可见性

作图方法(图3-27(b)):

  • 包含直线EF作铅垂面P,则铅垂面P的水平投影PHef重合;
  • 求出平面P与平面ΔABC的交线MN,因为铅垂面P的水平投影具有积聚性,直接定出mn,再求出mn′;
  • 交线的正面投影mn′ 和直线EF的正面投影ef′ 的交点k′,即为交点的正面投影,过k′ 向下作OX轴垂线和直线EF的水平投影ef相交,求出交点的水平投影k

判断可见性(图3-27(c)):

因为直线EF和平面ΔABC均处于一般位置,H面、V面投影均要分别判断可见性。

  • 先判断正面投影的可见性。平面ΔABC中的AC边和直线EF的正面投影重影点为1′(2′)。I点在EF上,II点在AC上,由1′(2′)求出其水平投影1、2。由水平投影可以看出1在2的前面,说明I点的y坐标大于II点的y坐标,即点I在点II的前方。向V面投影,EF上的I可见,AC上的II不可见,所以kf′ 与Δabc′ 的重影部分为可见。那么,ke′ 与Δabc′ 的重影部分就不可见。
  • 再判断水平投影的可见性。平面ΔABC中的BC边和直线EF的水平投影重影点为3(4),III点在EF上,IV点在BC边上,由3(4)求出其正面投影3′、4′。由正面投影可以看出3′ 在4′的上面,说明III点的z坐标大于IV点的z坐标,即点III在点IV的上方。向H面投影,EF上的III可见,BC上的IV不可见,所以ke与Δabc重影部分可见。那么,kf与Δabc重影部分就不可见。

②平面与平面相交

视频讲解主讲人:解咏平 教授21′32″

图3-28所示为平面ΔABC和平面□EFGH相交。两面相交的交线是两面的共有线,只要作出两一般位置平面的两个公有点,连接起来就是该两面的交线。由于两一般位置平面的位置各有不同,它们的交线有全在一个面的轮廓之内的(图3-28(a)),也有互相穿插的(图3-28(b)),也有在两平面图形之外的(图3-28(c))。根据不同情况,求交线的方法有线面交点法、辅助平面法等。

求交线的方法 详解
线面交点方法求交线 在两平面相交时,选取两根直线,分别与另一平面相交,求出它们的交点,连接起来,即为所求的交线。
辅助平面法 如图3-28(c)所示,相交两平面在图形有限范围内不相交,为求交线用辅助平面法求它们的交线。用辅助平面H1截已知平面PQ,分别截得两交线L1和 L2,它们的交点M,就是两平面PQ的一个公共点。同样在用一个辅助平面H2截已知平面PQ,可得另一交点NMN即为所求的交线。为方便作图,两辅助平面可选用平行的两个投影面平行面或投影面垂直面。
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